Tópico 14
Decomposição em valores singulares

Pedro Aladar Tonelli

Matrizes retangulares diagonais

Uma matriz $\Sigma = [\sigma_{ij}] \in \mathbb{R}^{m\times n}$ é diagonal quando $\sigma_{ij}=0$ se $i\neq j$

$$ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_{2}& 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma_{m}& 0 \end{bmatrix}$$

Decomposição de uma matriz retangular

Se $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ então existem

  • Uma matriz diagonal $\Sigma \in \mathbb{R}^{m\times n}$ com elementos maiores ou iguais a zero.
  • Uma matriz ortogonal $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$
  • Uma matriz ortogonal $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$
tais que $$ A = U\Sigma V^T$$

Como achar a decomposição

Partimos de $A = U\Sigma V^T$ e fazemos

\begin{gather} AA^T = U\Sigma V^T V \Sigma^TU^T = U \Lambda U^T \\ \Lambda = \Sigma \Sigma^T = \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \sigma_m^2 \end{bmatrix} \end{gather}

Analogamente

\begin{gather} A^TA = V \Sigma^TU^T U\Sigma V^T = V \Lambda_1 V^T \\ \Lambda_1 = \Sigma^T \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & \cdots & \sigma_m^2 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{gather}

Exemplos

$$ A= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

Decomposição como soma de matrizes

Uma forma alternativa para escrever a Decomposição é dando destaque aos vetores que compõem as matrizes $U$ e $V$ $$ A = \sigma_1 u_1.v_1^T + \cdots + \sigma_r u_r.v_r^T $$

Decomposição Polar

Se $A$ é uma matriz quadrada então podemos escrever

\begin{gather} A = U\Sigma V^T = U \color{red}{V^TV}\Sigma V^T \\ A = GS \\ G = UV^T \text{ e } S = V\Sigma V^T \end{gather}

Pseudo-inversa

Primeiro definimos a pseudo-inversa de uma matriz diagonal $m\times n$

$$ \Sigma = \begin{bmatrix}\sigma_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & & & \\ 0 & 0 & \sigma_r& \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Definimos a pseudo inversa como a matriz $n \times m$

$$ \Sigma^+ = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sigma_1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & & & \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sigma_r}& \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

No caso geral

\begin{gather} A=U\Sigma V^T \\ A^+ = V\Sigma^+ U^T \end{gather}

Exemplos

$$\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}\text{ }\begin{bmatrix} 2 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} $$