Uma matriz $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ com $s$ autovetores linearmente independentes, é semelhante a uma matriz em blocos:
$$ J = \begin{bmatrix} J_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_s\end{bmatrix} $$Cada bloco de Jordan tem a forma.
$$ J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i \end{bmatrix}$$Para achar a forma de Jordan, precisamos dos autovetores generalizados
Se $\color{green}{x_1}$ é um autovetor de $A$ associado a $\lambda$, então o conjunto de vetores $\{ \color{green}{x_1}, x_2, \dots, x_k\}$ que satisfaz $$ \left( A - \lambda I\right)x_{i+1} = x_i $$ são os autovetores generalizados de ordem $i$.Para achar os autovetores generalizados, estudamos as matrizes nilpotentes
$A$ é nilpotente de ordem $k$ se $A^k=0$ e $A^{k-1}\neq 0$
ou$A$ é nilpotente se e somente se $0$ é um autovalor de multiplicidade $n$
vamos construir uma sequência de autovetores generalizados de $A$
Como $A^{k-1}\neq 0$ então existe um vetor $x \neq 0$ tal que $y=A^{k-1}x$ também é diferente de zero.
Note $Ay = A^{k}x = 0$ então vamos renomear $\color{green}{x_1}=y$.
Note que neste caso todos os autovalores são nulos, então $(A-\lambda I)=A$
Como $x_1 = A^{k-1}x = A(A^{k-2}x)$ renomeamos $x_2 = A^{k-2}x$ ou ...
$$ x_i = A^{k-i}x \text{ e } x_k =x $$$\left\{ \color{green}{x_1},x_2,\dots,x_k\right\}$ é linearmente independente.
$\left\{ \color{green}{x_1},x_2\right\}$ é LI pois se $x_2 = a x_1$ então $x_1=A x_2 = a Ax_1 =0$ contra a hipótese.
Agora suponha que $\left\{ \color{green}{x_1},x_2,\dots,x_{l-1}\right\}$ é LI e que
\begin{gather}\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_{l-1}x_{l-1} + \alpha_lx_l = 0 \implies \\ \alpha_1 Ax_1 + \cdots + \alpha_{l-1}Ax_{l-1} + \alpha_lAx_l = 0 \\ \alpha_2 x_1 + \cdots + \alpha_{l}x_{l-1} = 0 \implies \alpha_i =0 \end{gather}