Tópico 11
Semelhanças e Lema de Schur
Pedro Aladar Tonelli
Matrizes Semelhantes
Duas matrizes $A$ e $B$ são semelhantes quando existe uma matriz invertível $P$
tal que $P^{-1}AP = B$
A relação de semelhança entre matrizes é uma relação de equivalência.
Denotaremos esta relação como $A \simeq B$
Se $A\simeq B$ então $A$ e $B$ têm o mesmo polinômio característico.
Se $P^{-1}AP = B$ e $\vec{x}$ é um autovetor de $A$, então $P\vec{x}$ é autovetor de $B$
Exemplos
$$ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\text{ e }\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
não são equivalentes apesar de ter o mesmo polinômio característico.
A única matriz equivalente à identidade é ela mesma
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\text{ e }\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$
são equivalentes
Lema de Schur
Se $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ é uma matriz qualquer então
existe uma matriz unitária $U$ tal que
$$ U^{H}AU = T$$ onde $T$ é uma matriz triangular superior
Lema de Schur para matrizes Hermitianas
Se $A=A^H$ e $U$ é uma matriz unitária tal que $U^HAU =T$
então
\begin{gather}
(U^HAU)^H = T^H \implies \\
T^H = U^H A^H U =T
\end{gather}
Portanto $T$ é diagonal
Uma matriz $A$ é normal quando $AA^H = A^HA.$
A matriz triangular $T$ do Lema de Schur é diagonal se, e somente se
matriz $A$ é normal
Se $A$ é normal temos:
\begin{gather}
U^HAU =T \text{ e } T^H = U^HA^H U \implies \\
TT^H = U^HAUU^HA^H U \\ =U^HAA^H U = U^HA^HA U =T^HT
\end{gather}
Então $T$ é normal
Se $T$ é normal e triangular superior, então T é diagonal