Tópico 10
Matrizes Ortogonais e Unitárias

Pedro Aladar Tonelli

Algumas matrizes especiais

  1. Matrizes de projeção
  2. Matrizes ortogonais e unitárias
  3. Matrizes simétricas e Hermitianas
  4. Matrizes anti-simétricas e anti-hermitianas
Uma matriz quadrada $P$ é uma matriz de projeção quando $P^2=P$.

Por exemplo: $$A= \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$$

Se $P$ é uma matriz de projeção então:
  • $0$ e $1$ são os únicos autovalores
  • $\mathbb{R}^n = \operatorname{Ker}(P) \oplus \operatorname{Im}(P)$
  • $\operatorname{Ker}(P)$ é o autoespaço associado a $0$
  • $\operatorname{Im}(P)$ é o autoespaço associado a $1$
  • $\exp(P) = I + (e-1)P$
Uma matriz $Q \in \mathbb{R}^{n\times n}$ é ortogonal quando $QQ^T=Q^TQ=I$

Por exemplo $$ Q = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $$

Se $Q$ é uma matriz ortogonal e $\lambda$ é um autovalor de $Q$ então $\|\lambda\| =1$
Uma matriz $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ é chamada simétrica se $A=A^T$ e anti-simétrica se $A+A^T=0$.

Se $A$ é anti-simétrica então $\exp(A)$ é ortogonal

Considerando agora as matrizes com coeficientes complexos $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ temos as seguintes definições
  • $A^H = \bar{A}^T$
  • $A$ é hermitiana se $A^H = A$
  • $A$ é unitária se $A.A^H=I$
Se $A$ é hermitiana e $x\in \mathbb{C}^n$ então $x^HAx \in \mathbb{R}$

Basta tomar o conjugado para obter o resultado!

Se $A$ é hermitiana então os autovalores são reais. \begin{gather} Ax=\lambda x \implies \langle Ax , x \rangle = \lambda \langle x, x \rangle \\ \lambda = \frac{ \langle Ax , x \rangle}{\langle x , x \rangle} \in \mathbb{R} \end{gather}
Se $A$ é hermitiana e $x_1$ e $x_2$ são autovetores associados a autovalores diferentes, $\lambda_1$ e $\lambda_2$, então $x_1$ e $x_2$ são ortogonais \begin{gather} \langle Ax_1 , x_2 \rangle = \langle x_1 , Ax_2 \rangle \implies \\ \lambda_1 \langle x_1 , x_2 \rangle = \lambda_2 \langle x_1 , x_2 \rangle \\ (\lambda_1 -\lambda_2)\langle x_1 , x_2 \rangle = 0 \end{gather}

Teorema Espectral

Se $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ é uma matriz simétrica então existe uma matriz ortogonal $Q$ tal que $$ A = Q \Lambda Q^T$$ Onde $\Lambda$ é a matriz diagonal dos autovalores (que são reais)
Uma consequência do Teorema espectral é que podemos escrever $$ A= \lambda_1P_1 + \cdots + \lambda_n P_n $$ com $P_i$ projeções de dimensão 1.
Seja $U \in \mathbb{C}^{n\times n}$ uma matriz unitária então
  • os autovalores de $U$ tem norma 1 ($\bar{\lambda}\lambda =1$)
  • Os autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais.