Tópico 9
A exponencial de matrizes: aplicações
Pedro Aladar Tonelli
Exponencial de uma matriz
$$ \exp(A)=\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} $$
Tem um problema: convergência! Que vamos deixar passar problema
enquanto.
Propriedades da exponencial.
- $\exp(0) = I$
- $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ se $AB=BA$
- $\exp(PAP^{-1})=P\exp(A)P^{-1}$
- $\frac{d \exp(tA)}{dt}=A\exp(tA)$
Exemplo 1
$$ A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 \\ 0 & 3
\end{bmatrix} \text{ resposta } \exp(A) = \begin{bmatrix}
\text{e}^{-2} & 0 \\ 0 & \text{e}^3
\end{bmatrix}$$
Exemplo 2
$$ A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 2
\end{bmatrix} \text{ resposta } \exp(A) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\text{e}+\text{e}^3 & -\text{e}+\text{e}^3 \\ -\text{e}+\text{e}^3 & \text{e}+\text{e}^3\end{bmatrix}$$
Exemplo 3
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & \theta \\ -\theta & 0
\end{bmatrix} \text{ resposta } \exp(A) = \begin{bmatrix}
\cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}$$
Exemplo 4
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & \lambda \\ 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Exemplo 5
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & x \\ x & 0
\end{bmatrix}$$
Exemplo 6
$$ A = \begin{bmatrix}
3 & 2 \\ -2 & 3
\end{bmatrix}$$
Observação: Para toda matriz $A$, $\exp(A)$ é invertível já que:
$$ I = \exp(0)= \exp(A - A)= \exp(A)\exp(-A) $$
\begin{gather}
\color{blue}{\frac{d \exp(tA)}{dt}=A\exp(tA)} \\
\frac{d \exp(tA)}{dt}= \lim_{h \to 0} \frac{\exp(tA + hA) - \exp(tA)}{h} \\
\lim_{h \to 0} \frac{(\exp(hA) -I)\exp(tA)}{h}
\end{gather}
\begin{gather}
\frac{(\exp(hA) -I)}{h} =\frac{(\sum_{k=1}^\infty \frac{h^kA^k}{k!})}{h} \\
= \frac{h(A + hA^2/2!+ \cdots + h^{k-1}A^k/k!+ \cdots)}{h} \\
\lim_{h\to 0}\frac{(\exp(hA) -I)}{h} = A
\end{gather}
resolução de Equações diferencias ordinárias
Sistema linear autônomo:
\begin{gather}
\dot{x}_1 =a_{11}x_1 + a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n \\
\dot{x}_2 =a_{21}x_1 + a_{22}x_2+ \cdots + a_{2n}x_n \\
\vdots \\
\dot{x}_n =a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2+ \cdots + a_{nn}x_n \\
\dot{\vec{x}} = A\vec{x}
\end{gather}
A solução geral deste sistema é
$$ \vec{x}(t) = \exp({(t-t_0)A})\vec{x}(t_0)$$
Exemplo 1
\begin{gather}
\frac{du}{dt}=Au = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{bmatrix}u(t) \\
u(0) = \begin{bmatrix}3 \\ 2\end{bmatrix}
\end{gather}
Exemplo 2
\begin{gather}
\ddot{x} +4\dot{x} + 5x =0 \\
x(0)=0 \text{ e } \dot{x}(0)=1
\end{gather}