Tópico 8
A exponencial de matrizes
Pedro Aladar Tonelli
Polinômios avaliados em matrizes
Se $A$ é uma matriz quadrada $n\times n$ e $p(\lambda) = a_k\lambda^k + \cdots + a_0$ é um
polinômio então $p(A) = a_k A^k + \cdots a_0I$ é a avalição do polinômio em $A$.
Se $A$ for diagonalizável temos que
\begin{gather}
A = P\Lambda P^{-1} \\
p(A) = P p(\Lambda) P^{-1}
\end{gather}
$$ p(\Lambda) = \begin{bmatrix}
p(\lambda_1) & 0 & \cdots & 0 \\
0 & p(\lambda_2) & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & p(\lambda_n)\end{bmatrix}$$
Em particular, se $p(\lambda)$ é o polinômio característico de $A$
$$p(A)=0$$.
Este resultado é válido para todas as matrizes quadradas, não só para
as diagonalizáveis e é conhecido como o Teorema de Cayley-Hamilton.
Vejamos uma aplicação
Suponha que $A$ seja invertível, então uma forma de calcular a
inversa usando o Teorema de Cayley-Hamilton é considerando o
polinômio característico
\begin{gather}
p(\lambda)= (-\lambda^n) + (-1)^{n-1}\operatorname{Tr}(A)\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + \operatorname{det}(A) \\
(-A)^n + (-1)^{n-1}\operatorname{Tr}(A) A^{n-1} + \cdots + a_1 A + \operatorname{det}(A)I=0 \\
A( -A^{n-1} + \cdots + a_1I ) = -\operatorname{det}(A)I \\
A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(A)}\left((-1)^n A^{n-1}+ \cdots + a_1I \right)
\end{gather}
Exponencial de uma matriz
$$ \exp(A)=\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} $$
Tem um problema: convergência! Que vamos deixar passar problema
enquanto.
Propriedades da exponencial.
- $\exp(0) = I$
- $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ se $AB=BA$
- $\exp(PAP^{-1})=P\exp(A)P^{-1}$
- $\frac{d \exp(tA)}{dt}=A\exp(tA)$
Exemplo 1
$$ A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 \\ 0 & 3
\end{bmatrix}$$
Exemplo 2
$$ A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 2
\end{bmatrix}$$
Exemplo 3
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & \theta \\ -\theta & 0
\end{bmatrix}$$
Exemplo 4
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & \lambda \\ 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Exemplo 5
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & x \\ x & 0
\end{bmatrix}$$
Exemplo 6
$$ A = \begin{bmatrix}
3 & 2 \\ -2 & 3
\end{bmatrix}$$