Tópico 7
Diagonalização de Matrizes
Pedro Aladar Tonelli
Uma matriz quadrada $A$ é diagonalizável se existir uma matriz invertível $P$ tal
que
$$ \color{blue}{P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}}$$
Se $A$ tem $n$ autovetores linearmente independentes
então
Faça $P=[\vec{x}_1| \cdots | \vec{x}_n]$, com $\vec{x}_i$ o autovetor associado a $\lambda_i$.
Como os autovetores são LI, $P$ é invertível e denotamos
$$ P^{-1} = \begin{bmatrix}
\vec{y}_1^T \\
\vdots \\
\vec{y}_n^T \end{bmatrix}$$
com $\langle \vec{y_i}, \vec{x_j}\rangle = \delta_{ij}$
Exemplo 1
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
Exemplo 2
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Exemplo 3
$$ A = \begin{pmatrix} 0& 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Exemplo 4
$$ A = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} $$
Exemplo 5
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Potência de matrizes diagonalizáveis
Se $A$ é diagonalizável e $A=P^{-1}\Lambda P$ com
$$ \Lambda = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}$$
Então $A^n = P^{-1} \Lambda^n P$
Produto de matrizes diagonalizáveis
Se $A$ e $B$ são duas matrizes $n \times n$ diagonalizáveis
então elas são simultâneamente diagonalizáveis ( Existe $S$ tal que
$S^{-1}AS = \Lambda_1$ e $S^{-1}BS = \Lambda_2$) se e somente se
$AB=BA$.
Sequência de Fibonacci
\begin{gather}
F_0 = 0 \\
F_1 = 1 \\
F_{k+2} = F_k + F_{k+1} \\
\begin{bmatrix}F_{k+2} \\ F_{k+1}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\
1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_{k+1} \\ F_{k}\end{bmatrix}
\end{gather}
\begin{gather}
\begin{bmatrix}F_{k+1} \\ F_{k}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\
1 & 0 \end{bmatrix}^k \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} \\
\lambda_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ e }\lambda_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \\
\vec{x}_1 =\begin{bmatrix}\lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix}\quad
\vec{x}_2 =\begin{bmatrix}\lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}
\end{gather}
$$ F_k = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k -
\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right]$$