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Uma matriz quadrada

$A$ é diagonalizável se existir uma matriz invertível

$P$ tal que

$\color{blue}{P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}}$

$A$ tem

$n$ autovetores linearmente independentes então Faça

$P=[\vec{x}_1| \cdots | \vec{x}_n]$ , com

$\vec{x}_i$ o autovetor associado a

$\lambda_i$ . Como os autovetores são LI,

$P$ é invertível e denotamos

$P^{-1} = \begin{bmatrix} \vec{y}_1^T \\ \vdots \\ \vec{y}_n^T \end{bmatrix}$ com

$\langle \vec{y_i}, \vec{x_j}\rangle = \delta_{ij}$

Exemplo 1

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Potência de matrizes diagonalizáveis

$A$ é diagonalizável e

$A=P^{-1}\Lambda P$ com

$\Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}$ Então

$A^n = P^{-1} \Lambda^n P$

Produto de matrizes diagonalizáveis

$A$ e

$B$ são duas matrizes

$n \times n$ diagonalizáveis então elas são simultâneamente diagonalizáveis ( Existe

$S$ tal que

$S^{-1}AS = \Lambda_1$ e

$S^{-1}BS = \Lambda_2$ ) se e somente se

$AB=BA$ .

Sequência de Fibonacci

$\begin{gather} F_0 = 0 \\ F_1 = 1 \\ F_{k+2} = F_k + F_{k+1} \\ \begin{bmatrix}F_{k+2} \\ F_{k+1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_{k+1} \\ F_{k}\end{bmatrix} \end{gather}$

$\begin{gather} \begin{bmatrix}F_{k+1} \\ F_{k}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^k \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} \\ \lambda_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ e }\lambda_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ \vec{x}_1 =\begin{bmatrix}\lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix}\quad \vec{x}_2 =\begin{bmatrix}\lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{gather}$

$F_k = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right]$

Tópico 7
Diagonalização de Matrizes

Pedro Aladar Tonelli

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Potência de matrizes diagonalizáveis

Produto de matrizes diagonalizáveis

Sequência de Fibonacci

Tópico 7 Diagonalização de Matrizes

Pedro Aladar Tonelli

Tópico 7
Diagonalização de Matrizes