Tópico 6
Autovalores e Autovetores
Pedro Aladar Tonelli
Definição auto valores de matrizes e operadores lineares
Se $A$ é uma matriz quadrada $n \times n$ dizemos que um número
$\lambda \in \mathbb{C}$ é um autovalor de $A$ quando existir um vetor
$\vec{x} \neq \vec{0}$ tal que
$$ A\vec{x}= \lambda\vec{x} $$
Neste caso, os vetores que satisfazem a condição acima serão chamados de
autovetores associados a $\lambda$.
- $\lambda=0$ é um autovalor $\iff$ $A$ tem um núcleo não trivial.
- Mesmo uma matriz real pode ter autovalor complexo, e neste caso os autovetores também
terão coordenadas complexas.
- O problema $Ax=\lambda x$ é não linear e difícil de resolver na maioria dos casos.
Como calcular $\lambda$
O primeiro resultado importante é que os autovalores são as
raízes do polinômio característico.
$$ p(\lambda) = \operatorname{det}(A-\lambda I) $$
Conhecendo um autovalor $\lambda$ os autovetores associados,
ou o autoespaço associado a ele é
$$\operatorname{Ker}(A-\lambda I)$$
Exemplos
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\end{gather}
Se $\lambda_1, \dots , \lambda_n$ são os autovalores de uma
matriz $A$ de dimensão $n\times n$ então
\begin{gather}
\lambda_1\cdot\lambda_2\cdots\lambda_n = \operatorname{det}A \\
\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}A
\end{gather}
Lema: Se $A_n$ é uma matriz de dimensão $n\times n$
então
$$ \operatorname{det}(A_n-\lambda I)= (-\lambda)^n + (-1)^{(n-1)}\operatorname{tr}A_n \lambda^{n-1} + q(\lambda)$$
onde $q(\lambda)$ é um polinômio de grau $n-2$
Prova-se por indução em $n$:
Para $n=2$ temos
$$ \operatorname{det}\begin{bmatrix}a_{11} -\lambda & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} - \lambda\end{bmatrix} = \lambda^2 -(a_{11}+a_{22})\lambda + \operatorname{det}A$$
$$ \operatorname{det}\begin{bmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda
\end{bmatrix} = (a_{11}-\lambda)\operatorname{det}(A-\lambda I)_{11} + q_1(\lambda)
$$
usando a hipótese de indução na matriz $(A-\lambda I)_{11}$ temos o resultado.
$$ \operatorname{det}(A-\lambda I)_{11}=
\operatorname{det}\begin{bmatrix}
a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda
\end{bmatrix}$$
$ q_1(\lambda)$ é um polinômio de grau $n-2$
Se $A$ tem só autovalores reais, e $n$ autovetores linearmente independentes
então
$$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}$$
e dizemos que $A$ é diagonalizável
Faça $P=[\vec{x}_1| \cdots | \vec{x}_n]$, com $\vec{x}_i$ o autovetor associado a $\lambda_i$.
Como os autovetores são LI, $P$ é invertível e denotamos
$$ P^{-1} = \begin{bmatrix}
\vec{y}_1^T \\
\vdots \\
\vec{y}_n^T \end{bmatrix}$$
com $\langle \vec{y_i}, \vec{x_j}\rangle = \delta_{ij}$