Tópico 5
Exemplos de projeções ortogonais
Pedro Aladar Tonelli
Polinômios de Legendre
Começo com uma observação: $W$ é um subespaço de um espaço $V$ e
conhecemos uma base ortogonal de $W$, $\{\vec{f}_1, \dots \vec{f}_k\}$ então a
projeção ortogonal de um vetor $\vec{v}$ em $W$ é
$$ \Pi_{W}(\vec{v}) = \sum_{i=1}^{k} \frac{\langle \vec{v},\vec{f}_i \rangle}{\langle \vec{f}_i,\vec{f}_i \rangle}\vec{f}_i$$
Se $\vec{p}$ é a projeção procurada
\begin{gather}
\vec{p} = \sum x_i\vec{f}_i \\
\langle \vec{v} - \vec{p}, \vec{f}_j \rangle = 0 \\
\langle \vec{v}, \vec{f}_j \rangle = \langle \vec{p}, \vec{f}_j \rangle \\
x_j = \frac{\langle \vec{p}, \vec{f}_j \rangle}{\langle \vec{f}_j, \vec{f}_j \rangle}
\end{gather}
Podemos agora considerar um espaço vetorial de funções, digamos funções contínuas
$f:[-1,1] \to \mathbb{R}$ e dele o subespaço $\cal{P}_k$ de Polinômios de grau menor ou igual a $k$.
consideramos neste nosso espaço o produto interno
$$ \langle f,g \rangle = \int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx $$
Os polinômios $\{ 1 , x , x^2, \dots, x^k\}$ formam uma base de $\cal{P}_k$, mas não uma base
ortogonal. Vamos usar o procedimento de Gram-Schmidt para achar uma base ortogonal, mas não necessáriamente
ortonormal.
Vamos definir uma base ortogonal no espaço $\cal{P}_k$, $\{\cal{l}_0(x),\dots,\cal{l}_k(x) \}$ tal que
$ \cal{l}_k(1)=1$.
$$
\begin{gather}
\cal{l}_0(x) =1 \text{ note que } \langle \cal{l}_0, \cal{l}_0 \rangle = 2 \\
\cal{l}_1(x) = x - \frac{\langle \cal{l}_0 , x \rangle}{\langle \cal{l}_0, \cal{l}_0 \rangle}
\cal{l}_0 =x \implies \langle \cal{l}_1, \cal{l}_1 \rangle = 2/3 \\
\end{gather}$$
\begin{gather}
\cal{l}_2 = x^2 - \frac{\langle x^2,\cal{l}_0 \rangle}{\langle \cal{l}_0, \cal{l}_0 \rangle}\cal{l}_0
-\frac{\langle x^2,\cal{l}_1 \rangle}{\langle \cal{l}_1, \cal{l}_1 \rangle}\cal{l}_1 \\
= \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \implies \langle \cal{l}_2, \cal{l}_2 \rangle = 2/5\\
\cal{l}_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)\implies \langle \cal{l}_3, \cal{l}_3 \rangle = 2/7
\end{gather}
Por exemplo, para aproximar $\sin(\pi x)$ no intervalo $[-1,1]$ por um polinômio de
grau menor ou igual a três teríamos
\begin{gather}
\sin(\pi x) \approx \sum_{i=0}^3 \frac{\langle \sin(\pi x),\cal{l}_i\rangle}{\langle \cal{l}_i,\cal{l}_i\rangle}\cal{l}_i \\
= \frac{3}{\pi}\cal{l}_1 + \frac{5}{\pi^3}(\pi^2 -15)\cal{l}_3
\end{gather}
Polinômios de Tchebichev
Os polinômios de Legendre não são os únicos polinômios especiais usados na matemática aplicada.
Uma outra família interessante são os polinômios de Tchebitchiev (ou Chebychev ou Chebytchev)
Um jeito de definí-los é por recorrência:
\begin{gather}
T_0(x) = 1 \\
T_1(x) = x \\
T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) \\
T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta)
\end{gather}
A família de polinômios de Tchebitchiev é ortogonal em relação ao produto
$$ \langle f,g \rangle = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx $$
Séries de Fourier
Vamos considerar uma função complexa $f(x) \in \mathbb{C}$ com $x \in [-\pi,\pi]$ e verificar se ela pode
ser aproximada por uma função do tipo
$$ \sum_{k=-N}^N c_k \text{e}^{ikx} $$
Defindo o produto interno agora como
$$\langle f , g \rangle = \int_{-\pi}^\pi f(x)\bar{g}(x)dx $$
temos que a família $\{\text{e}^{ikx}\}_{k \in \mathbb{Z}}$ é ortogonal então
$c_k= 1/2\pi \langle f, \text{e}^{ikx} \rangle $
Transformada de Fourier Discreta
Para fazer a Transformada discreta de Fourier vamos considerar o intervalo
$I =[0,2\pi]$ e dividí-lo em $N>0$ partes iguais obtendo os pontos $x_l = l\frac{2\pi}{N}$
O problema agora é encontrar os coeficientes $(c_1, \dots, c_{N-1})$ para uma função dada $f(x)$,
definida no intervalo $[0,2\pi]$ tal que
$$ f(x_l) = \sum_{k=0}^{N-1}c_k\text{e}^{ikx_l} $$
Como $x_l = l\frac{2\pi}{N} = lx_1\quad$ temos que $\text{e}^{ikx_l} = w^{kl}$ onde
$w=\text{e}^{i2\pi/N}$. Denotando $f(x_l)=f_l$ por economia, vamos reescrever
o sistema anterior como:
$$ f_l = \sum_{k=0}^{N-1}c_k w^{kl}$$
A matriz
$$ F = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & w & w^2 & \cdots & w^{N-1} \\
1 & w^2 & w^4 & \cdots & w^{2(N-1)} \\
\vdots & & & & \vdots \\
1 & w^{N-1}& w^{2(N-1)}& \cdots & w^{(N-1)^2}
\end{bmatrix} $$
vamos chamar de matriz de Fourier. Quais as propriedades da matriz $F$?
Proposição 1
$$F^{-1} = \frac{1}{N} \bar{F}$$
Fast Fourier Transform
Ideia é
$$ F_{4}=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & w & w^2 & w^3 \\
1 & w^2 & w^4 & w^6 \\
1 & w^3 & w^6 & w^9
\end{bmatrix} \to\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & w & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & w
\end{bmatrix} $$
Algoritmo de Cooley e Tukey
Vamos supor que $n=2^l$ e $m=\frac{n}{2} = 2^{l-1}$. Para
determinarmos $(c_0, \dots , c_{n-1})$ a partir de $(f_0, \dots f_{n-1})$
Faremos:
- $(c_0, \dots , c_n) \to (c_0, \dots , c_{2(m-1)}) \wedge (c_1, \dots , c_{2m-1})$
- Achar $y = F_m c_{par}$ e $z = F_m c_{impar}$
- Usar a fórmula de Cooley-Tukey
\begin{gather}
f_j = y_j + w_n^jz_j \\
f_{j+m}= y_j - w_n^j z_j
\end{gather}