Tópico 1
Matrizes de Transformações Lineares

Pedro Aladar Tonelli

Matrizes como Transformações Lineares

Vamos relembrar alguns conceitos:
  • $V$ é um espaço vetorial de dimensão $n$
  • $\{ e_1, \cdots , e_n\}$ é uma base de $V$
  • $W$ é um espaço vetorial de dimensão $m$
  • $\{ f_1, \cdots , f_m\}$ é uma base de $W$
  • $T$ éum operador linear de $V$ em $W$

Matriz de $T$

\[ T(e_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij}f_i\] A matriz $A=(a_{ij})$ é a matriz que representa a transformação $T$ nas bases dadas.

Esquema para memorizar

\[ \begin{array}{c|ccc|} & T(e_1) & \cdots & T(e_n) \\ \hline f_1 & a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & & \\ f_m & a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\ \hline \end{array}\]

Exemplo

$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ satisfaz:

$T(2e_1 + e_2) = e_3$

$T(e_1 - e_2) = 2e_3-6e_2$

$T(e_3) + T(e_2)=e_1$

Qual a matriz de $T$ na base $\{e_1,e_2,e_3\}$?

Resposta

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & 4& -4\\ 1 & -1& 1\end{pmatrix}\]

Operador aplicado a um vetor

Vamos tomar um vetor genérico $\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n x_i e_1$ e calcular $T(\mathbf{v})$ usando a matriz de representação de $T$. \[ T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n x_iT(e_i) = \sum_{i=1}^n x_i\begin{bmatrix} a_{1i} \\ \vdots \\ a_{mi}\end{bmatrix} = A\mathbf{x}\]

Mudança de base

\[ \begin{array}{ccc} V & \stackrel{T}{\rightarrow} & W \\ \{e_1,\dots,e_n\} & A & \{f_1,\dots, f_m\} \\ \{e^\prime_1,\dots,e^\prime_n\} & A^\prime & \{f^\prime_1,\dots, f^\prime_m\} \end{array} \] Qual a relação entre $A$ e $A^\prime$?
No espaço vetorial $V$ temos $$e_j = \sum_{i=1}^n p_{ij} e^\prime_i$$ e analogamente no espaço $W$ $$f_j = \sum_{i=1}^m q_{ij} f^\prime_i$$
Em $V$, se temos um vetor $$\mathbf{v}=\sum_{r=1}^n x_re_r = \sum_{l=1}^n y_le^\prime_l$$ Podemos comparar as coordenadas $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ em duas bases diferentes da seguinte forma: \[ \mathbf{v}=\sum_{r=1}^n x_re_r =\sum_{r=1}^n x_r(\sum_{i=1}^n p_{ir} e^\prime_i) \] reagrupando as somas temos:
\[ \mathbf{v}=\sum_{r=1}^n x_re_r =\sum_{i=1}^n (\sum_{r=1}^n p_{ir} x_r) e^\prime_i) \] ou \[ y_i = (\sum_{r=1}^n p_{ir} x_r) \implies \mathbf{y}=P\mathbf{x}\]
Analogamente no espaço $W$, se as coordenadas de um vetor nas diferentes bases \[ \begin{bmatrix} w_1 \\ \vdots \\ w_m \end{bmatrix} \text{ na base } f \text{ e } \begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_m\end{bmatrix} \text{ em } f^\prime\] então \[ \mathbf{u} = Q \mathbf{w}\]